中１ 比例 グラフの描き方 その前に
比例の式は
ｙ＝ａｘ
なんて習います。
ａ：比例定数
他にも
傾き
変化の割合
という言い方もあります。
まとめると ａ は
比例定数
傾き
変化の割合
と ３つの呼び名があるわけです。
ここで ポイントは
どれも
となることです。
ｘの増加量は グラフの 横 方向
ｙの増加量は グラフの 縦 方向
たとえば、
y=2x なら
２＝２／１
と
分数にして考え
ｘの増加量は １ ：グラフの横方向
ｙの増加量は ２ ：グラフの縦方向
グラフを描くときは
原点 から
横 方向に １
縦 方向に ２
これを繰り返していくと
グラフが出来上がります。
実際に、動画で確認しましょう。
下のグラフは
y=ax で ａが 0.5～8 まで 変化しています。
ａが大きくなると 傾きが急になります。
上り坂が急になるイメージですかね。
ちなみに
y=ax で ａが －８～８ まで 変化させると こんな感じです。
ａが マイナスの時は
下り坂になりますね。
最後にもう一度
ｙ＝ax
の
ａ は
です。
以下は中２で学習する
一次関数です。
https://www.desmos.com/calculator/dcd4ga3cq9
y=2x+b
傾きは ２です。
ｂの値を 変えております。
見ると 分かるのですが、
平行移動していますね。
つまり、 傾きが同じだと
グラフは平行になる ということです。
必要条件、十分条件。問題量をこなして理解する。
必要条件、十分条件が分かりにくい。
という高１生は、毎年います。
そんな生徒には、解説をしつつ、
問題量をこなして、感覚をつかんでもらい
理解につなげていきます。
以下は、問題です。
a,b は実数です。
下のア、イ、ウは それぞれ ①～④ のどれにあてはまるか。
① 必要条件であるが、十分条件ではない。
② 十分条件であるが、必要条件ではない。
③ 必要十分条件である。
④ 必要条件でも十分条件でもない。
ア
a≧０は、
が成立するための
イ
|a|<１ かつ |b|<1 は、
が成立するための
ウ
ａｂ＞０ は、
【解答・解説】
ア
ａ≧０ のとき
（これだけで分からない場合は、
aに ０、 ＋０.１、 ＋１ など
具体的な数字を
あてはめて考えると
理解できると思います。）
ゆえに
は真
次に
の場合は対遇を考えます。
（対遇）
について
であるから、真。
ゆえに
は、真。
よって ③が答え。
イ は これから解説します。
もうちょっと待っていてください。
ウ
ａｂ＞０ のとき
ａ＞０、ｂ＞０（ａもｂも正）
または
ａ＜０、ｂ＜０（ａもｂも負）
なので、
は成立する。
ゆえに
は 真
次に
のとき、
ａ＝１、ｂ＝０ だと
ａｂ＝０ となるので、
は 偽
よって
は十分条件であるが、必要条件ではないので、
② が答え。
中２：１次関数 文章を関数にする。玉井中のワークから ｐ５５ ２
ア
周の長さは 辺ｘ ３っ分なので、
y＝３ｘ
これは、ｙ＝ａｘ＋ｂ で ｂ＝０の場合の一次関数
だから
ｙ＝３ｘ も 一次関数
イ
縦 × 横 = 長方形の面積
だから
両辺を ÷ｘ すると（ｘで割る）
これは、反比例の式なので
一次関数ではない。
ウ
円錐の体積は
円錐の底面積は 円となるので
この問題では半径はｘ なので
まとめると
底面積は
高さは ５ｃｍなので
円錐の体積 ｙは
となり、ｘの２乗となるので、
これは、一次関数ではない。
ちなみに xの２乗は ２次関数といって
中３で勉強します。
エ
水そうには、もともと 水が１０Ｌ入っていますので
０分のときの 水そうの水は１０Ｌです。
毎分２Ｌ入れるので、 ２ずつ増えていきます。
それを表にすると
ｙ＝１０＋２ｘ
２ｘの項を前にすると
となり、
これは、一次関数となる。
以上
中２：１次関数 文章を関数にする。ｐ60 問２ 玉井中、幡羅中の教科書から
【解答・解説】
（１） ３００ｇ あり、
１００ｇ 使ったら
２００ｇ（３００－１００） 残る。
２００＝３００－１００
残り＝３００－使った分
ｙ＝３００－ｘ
ｙ＝ーｘ＋３００
となり、 １次関数です。
（２）
みはじで 時間は
時間＝道のり÷速さなので
道のり １０ｋｍ
速さ 時速ｘkm
時間 ｙ時間
上の式に当てはめて
ｙ＝１０÷ｘ
となり
これは、反比例の式です。
（３）
みはじで 道のりは
道のり＝速さ×時間 なので
道のり ｙ ｋｍ
速さ 時速４km
時間 ｘ時間
上の式に当てはめて
ｙ＝４×ｘ
ｙ＝４ｘ
これは、 一次関数です。
※ｙ＝ａｘ＋ｂ で ｂ＝０の場合だね。
（４）
長方形で
縦 ｘcm は ２つ
横 4cm も ２つ
周囲の長さ yは その合計なので
y=２x＋８
となり、１次関数。
（５）
球の表面積の公式
４ × π × 半径 × 半径
半径が ｘ
表面積 ｙなので
ｙ＝４πｘ^2
となり、 ｘの２乗なので、
１次関数ではない。
ちなみに xの２乗は ２次関数といって
中３で勉強します。
以上。
中３：２次方程式 整数の文章題 ｐ79 玉井中、幡羅中の教科書から 問１
問１
連続する２つの正の整数があります。
それぞれを２乗した数の和が１４５になるとき、
これら２つの整数を求めなさい。
【ヒント】
連続する２つの正の整数とは、
例えば
３、４ とか
１０、１１ などです。
小さい数に １を足すと その次の数になりますね。
３ に１足すと ４
１０に１足すと １１
小さい数が ｘ とすると
その次の数は？
そう
ｘ＋１ となります。
つまり 連続する整数は
ｘ と ｘ＋１ と表せるのです。
【解説】
ここからは、答えまで説明していきます。
小さい数を ｘ とすると
連続する整数は
ｘ と ｘ＋１ と表せます。
それぞれを２乗した数の和が１４５になるとき、
２乗なので
ｘ^2 と （ｘ＋１）^2
これの 和 が １４５ なので
ｘ^2 ＋（ｘ＋１）^2＝１４５ ・・・①
となります。
（ｘ＋１）^2を展開すると
ｘ^2＋２ｘ＋１
となるので、 ①は
ｘ^2 ＋ｘ^2＋２ｘ＋１＝１４５ ・・・①
２ｘ^2＋２ｘ＋１＝１４５
２ｘ^2＋２ｘ－１４４＝０
両辺を ２で割って
ｘ^2＋ｘ－７２＝０
因数分解すると
（ｘ＋９）（ｘ－８）＝０
ｘ＝８、－９
問題の条件は
正の整数なので
ｘ＝８ となり、
小さい数は ８ だから
連続する正の整数は
８、９ となります。
試しに計算すると
８＾２＋９＾２
＝６４＋８１
＝１４５
となり、問題に合います。
以上です。
中３：２次方程式 整数の文章題 ｐ79 問２ 玉井中、幡羅中の教科書から
Ｐ79
【問２】連続する３つの正の整数があります。
小さい方の２つの数の積が、
３つの数の和に等しい時、
これら３つの整数を求めなさい。
【ヒント】
連続する３つの正の整数とは
３、４、５ とか
７、８、９ などです。
４は、 ３＋１
５は、 ３＋２
ですね。
つまり
２番目の数→ 一番小さい数 ＋ １
３番目の数→ 一番小さい数 ＋ ２
となるわけです。
では、一番小さい数を
ｘとすると
２番目の数→ ｘ＋１
３番目の数→ ｘ＋２
となります。
まとめると
連続する３つの正の整数は、
ｘ、 ｘ＋１、 ｘ＋２
となるわけです。
【解説】
以下は答えまで説明します。
小さい方の２つの数の積が、
小さい方の２つの数は、
ｘ、 ｘ＋１、 ｘ＋２
の中で
ｘ と ｘ＋１ です。
積は 掛け算のことなので
小さい方の２つの数の積は、
ｘ（ｘ＋１）
となります。
次に
３つの数の和（足し算）は、
ｘ＋ ｘ＋１ ＋ ｘ＋２
となり、まとめると
３ｘ＋３
となります。
小さい方の２つの数の積と
３つの数の和が
等しいので
ｘ（ｘ＋１）＝３ｘ＋３
かっこを外すと
問題には正の整数とあるので
ｘ＝３
一番小さい数をｘとしたので、
連続する３つの正の整数は
３、４，５ となります。
