中３：２次方程式 整数の文章題 ｐ79 玉井中、幡羅中の教科書から 問１

問１

連続する２つの正の整数があります。

それぞれを２乗した数の和が１４５になるとき、

これら２つの整数を求めなさい。

【ヒント】

連続する２つの正の整数とは、

例えば

３、４　とか

１０、１１　　などです。

小さい数に　１を足すと　その次の数になりますね。

３　に１足すと　４

１０に１足すと　１１

小さい数が　ｘ　とすると

その次の数は？

そう

ｘ＋１　となります。

つまり　連続する整数は

ｘ　と　ｘ＋１　と表せるのです。

【解説】

ここからは、答えまで説明していきます。

小さい数を　ｘ　とすると

連続する整数は

ｘ　と　ｘ＋１　と表せます。

それぞれを２乗した数の和が１４５になるとき、

２乗なので

ｘ^2　　と　　（ｘ＋１）^2

これの　和　が　１４５　なので

ｘ^2　＋（ｘ＋１）^2＝１４５　・・・①

となります。

（ｘ＋１）^2を展開すると

ｘ^2＋２ｘ＋１

となるので、　①は

ｘ^2　＋ｘ^2＋２ｘ＋１＝１４５　・・・①

２ｘ^2＋２ｘ＋１＝１４５　

２ｘ^2＋２ｘ－１４４＝０

両辺を　２で割って

ｘ^2＋ｘ－７２＝０

因数分解すると

（ｘ＋９）（ｘ－８）＝０

ｘ＝８、－９

問題の条件は

正の整数なので

ｘ＝８　となり、

小さい数は　８　だから

連続する正の整数は

８、９　となります。

試しに計算すると

　８＾２＋９＾２

＝６４＋８１

＝１４５

となり、問題に合います。

以上です。